已知方程x^2-2x-3+a=0在[0,4]上有且只有一个根，求实数a的范围

x^2-2x-3+a=0
y=x^2-2x-3+a=(x-1)^2+a-4
对称轴为x=1 开口向上！
1）有相同2个根
x=1 y=0
a=4
2)有2个不相等实根
判别式>0
f(0)*f(4)<0或f(4)=0

即4-4a+12>0
(a-3)*(a+5)<0或a=-5

即：a<4
-5<a<3或a=-5
即：
-5<=a<3

综合1)2):
-5<=a<3或a=4

y=x^2-2x-3+a的图像开口向上,对称轴x=1
方程x^2-2x-3+a=0在[0,4]上有且只有一个根
x=0时,x^2-2x-3+a<0
x=4时,x^2-2x-3+a>=0,
-3+a<0,a<3
5+a>=0,a>=-5
-5<=a<3

另外当x=1时，x^2-2x-3+a=0也符合题意要求，此时a=4

综上可知，实数a的范围为：
-5<=a<3或a=4

设f(x)=x^2-2x-3+a,则抛物线开口向上，对称轴为x=1。
满足题设要求的可以有两种情况：
①方程有两相等的实根，且该实根在区间[0,4]上；也就是说抛物线与x轴只有一个交点，交点的横坐标(就是对称轴的x值)在区间[0,4]上。
②方程有两不等的实根，即抛物线与x轴有两个交点，由于大根与小根在抛物线图像上关于对称轴对称，要使仅其中一个在区间[0,4]上，那么一定是大根在区间(1,4]上，小根小于零，此时f(0)小于零，而f(4)不小于零。
故有
①当△=(-2)^2-4(-3+a)=0，即a=4时，x2=x2=1，满足题意。
②当△=(-2)^2-4(-3+a)＞0，即a＜4时，有
f(0)＜0且
f(4)≥0
解得-5≤a＜3.
综上，a=4或-5≤a＜3.